CURIOSIDADES DA FÍSICA
José Maria Filardo Bassalo
www.bassalo.com.br

Segunda Quantização (Eletrodinâmica Quântica), a Estatística de Fermi-Dirac, a Equação de Dirac, o Prêmio Nobel de  Física (PNF) de 1933, e o Paradoxo de Klein.

 

Neste item, veremos como Dirac realizou seus primeiros trabalhos científicos, que culminou com o compartilhamento do PNF de 1933, e alguns resultados decorrentes daqueles trabalhos. Para isso, usaremos o artigo do físico holandês-norte-americano Abraham Pais (1918-2000), no livro intitulado Paul Dirac: The man and his work (Cambridge University Press, 1998), editado por Peter Goddfard, assim como sua Nobel Biography e sua Nobel Lecture denominada Theory of Electrons and Positrons. Em Cambridge, Fowler ensinou a Dirac a então velha teoria quântica traduzida pela Equação de Bohr-Wilson-Ishiwara-Sommerfeld, construída entre 1913 e 1916.  Por sua vez, em 1925, Dirac teve a oportunidade de conhecer os físicos, o dinamarquês Niels Henrik David Bohr (1885-1962; PNF, 1922), em maio de 1925, e o alemão Werner Karl Heisenberg (1901-1975; PNF, 1932), em julho de 1925, em virtude de conferências que esses físicos ministraram em Cambridge, sobre o que viria a ser conhecida como a Mecânica Quântica, que havia sido desenvolvida, em 1925, por Heisenberg (Zeitschrift für Physik 33, p. 879) e pelos físicos alemães Max Born (1882-1970; PNF, 1954) e Ernst Pascual Jordan (1902-1980) (Zeitschrift für Physik 34, p. 858). Em consequência desses encontros, Dirac apresentou, em novembro de 1925 (Proceedings of the Royal Society of London A109, p. 642), uma nova formulação da Mecânica Quântica de Born-Heisenberg-Jordan por intermédio de uma conexão entre essa Mecânica e a Mecânica Hamiltoniana. Desse modo, os novos entes matemáticos encontrados por Dirac nesse trabalho, que correspondiam às “quantidades de transição” (por exemplo, x e y representando duas quaisquer variáveis do sistema atômico) usadas por Heisenberg em seu artigo, apresentavam um produto não-comutativo, cuja diferença (xy - yx), no limite clássico, correspondia ao parêntesis de Poisson [apresentado pelo matemático francês Siméon Denis Poisson (1781-1840), em 1809 (Journal de l´Ecole Polytechnique 8, p. 266)], isto é: 

 

,

 

onde pi e qi são as variáveis canonicamente conjugadas da Mecânica Hamiltoniana e [x, y] = xyyx representa o comutador  ([]) entre x e y. Em maio de 1926, Dirac defendeu sua Tese de Doutoramento intitulada Quantum Mechanics e que foi publicada, ainda em 1926 (Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 23, p. 412). Também em 1926 (Proceedings of the Royal Society of London A111, p. 281, 405; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 23, p. 500), Dirac aplicou sua Mecânica Quântica a uma grande variedade de problemas atômicos, dentre os quais, o efeito Compton, descoberto pelo físico norte-americano Arthur Holly Compton (1892-1962; PNF, 1927), em 1923 (Physical Review 21, p. 207, 483, 715; 22, p. 409; Philosophical Magazine 46, p. 897).  

                   Por sua vez, em 1926 (Annales de Physique Leipzig 79, p. 361; 489; 734; 747; 80, p. 437; e 81, p. 136), o físico austríaco Erwin Schrödinger (1887-1961; PNF, 1933) desenvolveu a hoje conhecida Mecânica Quântica Ondulatória (MQO), traduzida pela Equação de Schrödinger (ES):

 

    = i

 

onde  é a função de onda de Schrödinger ou campo escalar,  =  é o operador laplaciano,  é o operador Hamiltoniano [ =  = operador energia cinética ( + operador energia potencial)], é um dado potencial e = h/2, sendo h a constante de Planck. Inicialmente, Dirac reagiu com hostilidade a esses trabalhos de Schrödinger, mas logo depois os aceitou e, em agosto de 1926 (Proceedings of the Royal Society of London A112, p. 661), aplicou a MQO para estudar os sistemas de partículas idênticas, encontrando dois grupos de soluções para seus estados de energia, uma simétrica e uma antissimétrica. Observou ainda que esses grupos não se combinam e não se podem transformar um no outro, pois apenas o grupo antissimétrico ao que denominou, nessa ocasião de princípio da exclusão de Pauli, [formulado pelo físico austríaco Wolfgang Pauli Junior (1900-1958; PNF, 1945), em 1925 (Zeitschrift für Physik 31, p. 765)]. Desse modo, Dirac demonstrou que elétrons livres (não interagentes) são descritos por uma função de onda representada por um determinante. Além do mais, ao aplicar à função de onda de uma partícula a condição de quantização imposta às condições de fronteira da mesma, Dirac obteve a Estatística de Fermi [proposta pelo físico ítalo-norte-americano Enrico Fermi (1901-1954; PNF, 1938), em 1926 (Zeitschrift für Physik 36, p. 902)], razão pela qual é hoje conhecida como Estatística de Fermi-Dirac. Dirac observou ainda que se esse procedimento fosse aplicado à função de onda simétrica, resultaria como consequência a Estatística de Bose-Einstein [proposta, em 1924, pelos físicos, o indiano Satyendra Nath Bose (1894-1974) (Zeitschrift für Physik 26, p. 178) e o germano-suíço-norte-americano Albert Einstein (1879-1955; PNF, 1921) (Preussische Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Mathematisch-Physikalische Klasse, Sitzungsberichte, p. 261)]. É oportuno destacar que Heisenberg, também em 1926 (Zeitschrift für Physik 38; 39, p. 411; 499),  usou a MQO para estudar o átomo de hélio (He).

                   Depois de obter seu Doutoramento, Dirac foi, em setembro de 1926, para Copenhague trabalhar com Bohr, a quem admirava bastante. Lá, Dirac usou as transformações canônicas ou teoria da transformação na Mecânica Quântica e na Eletrodinâmica. Desse pós-doutoramento (setembro de 1926-fevereiro de 1927) que realizou com Bohr, Dirac publicou, em 1927, três trabalhos fundamentais para a Teoria Quântica. No primeiro deles (Proceedings of the Royal Society A113, p. 621), Dirac apresentou a hoje famosa função delta de Dirac [δ(t)], com a seguinte definição [ver: José Maria Filardo Bassalo e Mauro Sérgio Dorsa Cattani, Elementos de Física Matemática, Vol. 1 (Livraria da Física/Maluhy&Co.2010):

 

δa(t) = 1/a, se │t│< a; = 0, se  │t│> a;         .

 

                    É interessante destacar que Dirac reuniu esses trabalhos sobre Mecânica Quântica em seu célebre livro (até hoje em uso) intitulado Principles of Quantum Mechanics, publicado em 1930 (Oxford University Press).

                   Ainda em 1927 (Proceedings of the Royal Society A114, p. 243; 710), Dirac publicou dois trabalhos (o primeiro em Copenhague e o segundo em Goettingen) nos quais considerou  e sua conjugada , como operadores (em vez de números como Schrödinger havia considerado, em 1926, como vimos acima), porém sua álgebra era não-comutativa, isto é: . Com esse procedimento, conhecido como Teoria Quântica da Emissão e Absorção da Radiação {também conhecida como Segunda Quantização, que considera os operadores: criação (), destruição () e número de ocupação ou conservação (N = a+ a-) que satisfazem as seguintes regras de comutação: [aα, a] = δαβ, [a, a] = [a+, a+] = 0}, Dirac quantizou o campo eletromagnético, procedimento esse que deu origem ao desenvolvimento da Eletrodinâmica Quântica (QED: “Quantum Electrodynamics”).

                   Em 1927, por ocasião da Quinta Conferência de Solvay que aconteceu em Bruxelas, Dirac encontrou-se com Bohr que lhe perguntou em que estava trabalhando, Dirac então lhe respondeu que buscava uma teoria relativista do elétron. Bohr retrucou dizendo-lhe que o físico sueco Oskar Benjamin Klein (1894-1977), em 1926 (Zeitschrift für Physik 37, p. 895), já havia realizado essa teoria. Dirac não concordou com essa afirmação, pois sabia que Klein fizera apenas uma versão relativística da Equação de Schrödinger. Dirac, contudo, buscava outro caminho e que foi encontrado por ele, em 1928 (Proceedings of the Royal Society A117; A118, p. 610; 351), deduzindo a hoje famosa Equação de Dirac (ED) - (i  gm m - m c) F = 0 -, onde gm é a matriz de Dirac (matriz 4 ´ 4), m  = /xm (m = 1, 2, 3, 4), F é o spinor de Dirac (matriz coluna), é a massa do elétron, e  é a velocidade da luz no vácuo.  É interessante destacar que, em 1974, Dirac escreveu o livro denominado Spinors in Hilbert Space (Plenum), no qual ele estuda os spinores com o formalismo do Espaço de Hilbert. 

                   Vejamos alguns resultados importantes da ED. Primeiro, ela conseguiu remover a degenerescência dos níveis de energia das órbitas eletrônicas Bohrianas (dependência apenas do número quântico ) indicada pela Equação de Schrödinger. No entanto, ela apresentou uma nova degenerescência entre os níveis de energia  e  do átomo de hidrogênio (H). Registre-se que, de um modo geral, o nível de energia das órbitas atômicas é caracterizado por: , onde  () representam, respectivamente, os números quânticos: principal (n, correspondente a energia), momento angular orbital (), spin (s =1/2) e momento angular total (j).

                   Outro resultado importante da ED decorreu de sua solução para o elétron livre. Nesta solução, Dirac encontrou que ela não só descrevia o elétron com momento  e energia positiva, mas tinha outra solução que descrevia partículas idênticas a elétrons, porém com carga positiva e energia negativa. Ele chamou essas partículas de “buracos” e afirmou que eles ocupavam todos os estados de energia negativa, o famoso “mar de Dirac”. Nessa época, Dirac não havia entendido bem essa outra solução. Assim, esse “buraco” foi interpretado como sendo um próton, em 1929 (Zeitschrift für Physik 56, p. 330), pelo matemático alemão Hermann Weyl (1885-1955) e, ainda em 1929 (Proceedings of the Royal Society of London A126, p. 360) e em 1930 (Nature 126, p. 605), pelo próprio Dirac. Essa interpretação decorria do fato de que, naquela época, só se conheciam dois tipos de partículas elementares: elétrons e prótons. Por sua vez, o núcleo atômico era considerado formado de prótons e elétrons.  Porém, Dirac não ficou muito satisfeito com essa proposta, uma vez que já se sabia que os prótons tinham massa cerca de 1.840 vezes maior do que à dos elétrons.

                   Ainda em 1930, em trabalhos independentes, os físicos, o norte-americano Julius Robert Oppenheimer (1904-1967) (Physical Review 35, p. 562) e o russo Igor Yevgenyevich Tamm (1895-1971; PNF, 1958) (Zeitschrift für Physik 62, p. 545), mostraram que o “buraco” não poderia ser um próton, pois, desse modo, tornaria o átomo instável por causa do processo: próton + elétron  fótons. Em 1931 (Proceedings of the Royal Society of London A133, p. 60), Dirac aceitou a ideia de que o “buraco” seria uma nova espécie de partícula, até então desconhecida pelos físicos experimentais, a qual chamou de “anti-elétron”. Destaque-se que essa “nova partícula” foi descoberta pelo físico norte-americano Carl David Anderson (1905-1991; PNF, 1935), em 1932 (Proceedings of the Royal Society of London A41, p. 405; Science 76, p. 238), e que recebeu o nome de pósitron (). É interessante destacar que, em 1929, os físicos, o russo Dmitry Vladimirovich Skobeltzyn (1892-1992) (Zeitschrift für Physik 54, p. 686) e, em 1930 (Nature 125, p. 636), o italiano Bruno Benedetti Rossi (1905-1994), encontraram evidências experimentais da existência do “buraco” previsto por Dirac.

                   Ainda com relação ao “mar de Dirac”, havia a seguinte questão. Como vimos acima, ao aplicar sua equação aos elétrons livres, Dirac observou que estes poderiam existir em estados de energia negativa e contínua, variando de até . No entanto, a segunda quantização diraciana mostrava que um elétron em um estado bohriano excitado perde energia espontaneamente por emissão de um fóton (g), caindo, como consequência, no estado fundamental.

                   Tendo em vista o resultado acima, o físico sueco Oskar Benjamin Klein (1894-1977), em 1929 (Zeitschrift für Physik 53, p. 157) apresentou a seguinte questão, conhecida como Paradoxo de Klein:

 

Um elétron no estado fundamental pode emitir um fóton com energia () maior que o dobro de sua energia de repouso (), ou seja,  e cair para um estado de energia negativa como havia sido proposto pela equação de Dirac. Uma vez nesse estado, o elétron continuaria emitindo fótons já que não havia limite mínimo de energia negativa, pois essa se estende até - . Isso, contudo, não é observado experimentalmente.

 

                   A solução para esse “paradoxo” foi apresentada pelo próprio Dirac, nos artigos de 1929 e 1930, citados anteriormente, nos quais afirmou que, em condições normais, os estados de energia negativa estão todos ocupados por elétrons, o ``mar de Dirac”, já referido. Assim, as transições catastróficas previstas por Klein eram proibidas pelo princípio da exclusão de Pauli, de 1925, referido acima. Ainda nesses trabalhos, Dirac afirmou que um desses elétrons pode absorver um fóton com energia () maior do que o dobro de sua massa de repouso () – -  e tornar-se um estado de energia positiva; como resultado, um ``buraco” ou ``anti-elétron” é criado nesse ``mar”, que corresponde a um próton, conforme já destacamos anteriormente. Desse modo, estava explicado o Paradoxo de Klein.