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CURIOSIDADES DA FÍSICA José Maria Filardo Bassalo www.bassalo.com.br |
O Método da Exaustão. O método do cálculo de áreas
(“quadratura”) e de volumes (“cubatura”), conhecido
como o método da exaustão, foi
inicialmente desenvolvido pelo astrônomo e matemático grego Eudoxo
de Cnido (c.408-c.355),
baseado na seguinte proposição: Se for subtraída de qualquer grandeza uma parte não menor que sua
metade, e dessa parte restante for, de novo, subtraída uma parte também não
menor que sua metade, e se este processo de subtração é continuado, então
permanecerá uma grandeza menor do que qualquer grandeza pré-determinada da
mesma espécie. Embora esse método
de Eudoxo também tenha sido apresentado pelo
matemático grego Euclides de Alexandria (323-285) em seu famoso livro Elementos de Geometria, foi o também matemático
grego Arquimedes de Siracusa (287-212) que repetiu os
cálculos de Eudoxo, porém, de maneira muita mais
elaborada (por essa razão, a grande maioria dos Historiadores da Ciência o
considera como o “inventor” desse tipo de cálculo, hoje conhecido como Cálculo
Integral). Com efeito, em seu livro Método, Arquimedes apresentou a maneira de fazê-lo e, para isso,
modificou o método de Eudoxo, pois, ao invés de
simplesmente “exaurir” a figura (cuja área queria obter), ao adicionar mais e
mais figuras retilíneas, Arquimedes utilizou suas leis da alavanca (vide
verbete nesta série) para balancear linhas e áreas. Com suas leis e mais o
argumento do reductio ad absurdum
(“redução ao absurdo”), demonstrou importantes teoremas e proposições,
que foram fundamentais para a realização de seus cálculos. Para ilustrar esse
“argumento mecânico”, inicialmente, calculou a área de um segmento parabólico.
É interessante destacar que esse livro de Arquimedes ficou perdido por cerca de
mil anos, e foi encontrado, por acaso, em 1906, num palimpsesto (manuscrito de
pergaminho que foi raspado para receber novo texto) de Constantinopla, escrito
pelas mãos de um copista do Século 10. Este livro de Arquimedes contém 15
proposições, foi enviado, em forma de carta, ao astrônomo grego Eratóstenes de Cirena (c.276-c.196). [Margareth E. Baron, A Matemática Grega (EUnB,
1985); Reviel Netz e
William Noel, Códex Arquimedes (Record, 2009)]. Note-se
que Arquimedes continuou elaborando cada vez mais seu novo método da exaustão nos outros cálculos que realizou e
apresentado nos demais tratados que escreveu, tais como: Sobre a Quadratura da Parábola,
Sobre a Esfera e o Cilindro, Sobre o
Método do Círculo, Sobre as Espirais, Sobre os Conóides
e Esferóides, Sobre o Arenário, Sobre as
Alavancas, Sobre os Centros de Gravidade, Sobre o Equilíbrio dos Planos, e Sobre o Equilíbrio dos Corpos Flutuantes. [Arquimedes, Great Books of the Western World 10 (Encyclopaedia Britannica, Inc./Chicago
University, 1993)]. 
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