Propriedades
Magnéticas Quânticas da Matéria: Para, Dia, Ferromagnetismo,
Antiferromagnetismo e Ferrimagnetismo.
Em
verbete desta série, analisamos as propriedades clássicas da matéria magnética:
dia, para e ferromagnetismo.
As duas primeiras (dia e para) foram estudadas pelo físico francês
Paul Langevin (1872-1946), em 1905, ao admitir que os
átomos e moléculas apresentavam um momento
magnético ( Em 1920 (Zeitschrift für Physik 2, p. 201), o
físico austro-norte-americano Wolfgang Pauli Junior
(1900-1958; PNF, 1945) tratou o diamagnetismo das substâncias ionizadas, e encontrou para a suscetibilidade
diamagnética (
onde e e m
representam, respectivamente, a carga e a massa do elétron, c a velocidade da
luz no vácuo e kF
é o raio da SF, que é definido pelos vetores De posse desse valor teórico para As propriedades magnéticas (dia, paramagnetismo) e as
dificuldades apontadas acima das mesmas, começaram a ser entendidas com o
desenvolvimento Mecânica Quântica, a partir de 1925 (sobre esse
desenvolvimento, ver verbetes nesta série). Com efeito, em 1927 (Nature 20,
p. 30), o físico norte-americano John Hasbrouck van Vleck (1899-1980; PNF, 1977) fez um estudo geral sobre a suscetibilidade
magnética (
onde N é o número de Avogadro, Uma nova tentativa de
explicar o diamagnetismo nos
metais por intermédio da Mecânica Quântica foi apresentada, em 1930 (Proceedings of the National Academy
of Sciences 16, p. 95), pelo físico norte-americano
Francis Bitter (1902-1967) ao calcular o valor
esperado da fórmula de Langevin-Pauli, aplicando
as funções de onda schrödingerianas (vide verbete
nesta série) do elétron livre e estendida a uma célula unitária. Porém, esse
resultado diferia cerca de duas vezes o valor conhecido. O estudo
quanto-mecânico completo de elétrons orbitais e livres em um campo magnético
foi realizado pelo físico russo Lev Davidovich Landau (1908-1968; PNF, 1962), ainda em 1930 (Zeitschrift für Physik 64,
p. 629), em seu célebre trabalho sobre o diamagnetismo. Com efeito, ao
aplicar a estatística de Fermi-Dirac a um gás de elétrons (sem
spin) degenerado em um campo magnético externo, Landau demonstrou que a O modelo de Landau do diamagnetismo foi
retomado pelo físico inglês Rudolf Ernst Peierls
(1907-1995), em trabalhos realizados em 1932 (Zeitschrift für Physik 33, p. 864) e 1933 (Zeitschrift für Physik 80;
81, p.
763; 186), nos quais tratou o problema de elétrons livres em campos magnéticos
fracos e fortes, respectivamente. No caso do campo fraco, ele o tratou como uma
perturbação e, com isso, demonstrou que Vejamos agora o tratamento
quanto-mecânico do ferromagnetismo.
Em 1920 (Zeitschrift für Physik 21,
p. 613), o físico alemão Wilhelm Lenz
(1888-1957) iniciou o estudo de um modelo teórico para um sistema magnético e,
então, propôs o desenvolvimento desse estudo como assunto de Tese de
Doutoramento ao seu estudante, o também físico alemão Ernst Ising
(1900-1998). Essa tese foi por ele resumida em um artigo publicado em 1925 (Zeitschrift für Physik 31,
p. 253), e que passou a ser conhecido desde então como o modelo de Ising.
Nesse modelo, para superar as dificuldades do modelo de Weiss para
explicar o ferromagnetismo,
apontadas acima, Ising supôs que os momentos magnéticos
colocados sobre os sítios equidistantes e em uma
cadeia unidimensional, interagiam com seus vizinhos mais próximos, de modo que
a energia potencial era mínima quando os dipolos interagentes
apontavam em uma mesma direção, e máxima quando apontassem em direção oposta,
não sendo, no entanto, permitidas outras orientações. Não obstante Ising haver calculado exatamente a função partição (Z) de
seu modelo e, consequentemente, estudado a sua Mecânica
Estatística, a cadeia linear considerada por ele não apresentava ordem de longo
alcance em qualquer temperatura diferente do zero absoluto (0 K). Em vista
disso, o modelo de Ising não explicava a razão
de ser alto o Hm.proposto por Weiss e,
portanto, o ferromagnetismo
permanecia sem explicação. Uma nova tentativa para
explicar o ferromagnetismo deve-se ao
físico alemão Werner Karl Heisenberg (1901-1976; PNF, 1933) ao desenvolver, em
1928 (Zeitschrift für Physik 49,
p. 619), um modelo no qual explicava que, a razão de ser alto o Hm,
decorria do fato de ele ter origem eletromagnética. Assim, usando uma
combinação do princípio da exclusão de Pauli e a
superposição de funções de onda schrödingerianas, ele
mostrou que os elétrons de mesmo spin tenderiam a permanecer afastados,
minimizando a sua energia com uma baixa repulsão coulombiana.
Por outro lado, elétrons de spins diferentes poderiam se aproximar mais e
teriam, portanto, uma energia potencial mais elevada. Dessa forma, a
substância ferromagnética apresentaria uma tendência natural de manter
os spins eletrônicos alinhados e com mínima energia. Portanto, de acordo com esse
modelo
de Heisenberg, o forte alinhamento dos spins (característica do ferromagnetismo)
decorria de uma energia de troca (“exchange”)
entre o spin de um elétron e seus vizinhos mais próximos (um mínimo de oito). É oportuno observar que
Heisenberg já havia esboçado seu modelo desde 1926, porém, ele tinha
dificuldade em calcular a energia de um sistema de muitos spins em termos da
interação de troca, pois não conhecia ainda a Teoria de Grupos, importante para
a realização desse cálculo. Nesse meio tempo, os físicos, o
húngaro-norte-americano Eugene Paul Wigner (1902-1995; PNF, 1963), e os alemães
Walther Heitler (1904-1981), Fritz Wolfgang London (1900-1954) e Friedrich Hermann Hund
(1896-1997), além do matemático alemão Hermann Klaus Hugo Weyl
(1885-1955), independentemente, utilizaram aquela Teoria (em especial a
representação do Grupo de Permutações) em seus trabalhos sobre espectros
atômicos e moleculares. Por exemplo, Heitler e London apresentaram, pela primeira vez, em 1927 (Zeitschrift für Physik 44,
p. 455), a teoria das ligações químicas de átomos idênticos, na qual
consideraram a troca de elétrons de valência (vide verbete nesta série) entre
dois átomos quaisquer de uma rede (“lattice”). Desse
modo, usando a integral de troca de Heitler-London,
Heisenberg calculou, no citado trabalho de Em 1929 (Proceedings of the Royal Society of London
A123, p. 714), o físico inglês
Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984; PNF, 1933) obteve a hoje célebre hamiltoniana do ferromagnetismo:
onde Jij
é a matriz
integral de troca (cuja forma pode ser vista em Ziman,
op. cit.) e Ainda em 1929 (Zeitschrift für Physik 57,
p. 545), o físico norte-americano Felix Bloch (1905-1983; PNF, 1952) começou a
estudar o papel dos elétrons de condução no fenômeno do ferromagnetismo, pois pretendia
evitar a distribuição gaussiana usada por Heisenberg em seu modelo. Desse modo,
calculou a energia de troca entre elétrons livres de um gás, porém, descobriu que
somente para baixas densidades eletrônicas (muito baixa para os alcalinos), a
interação de troca atrativa proposta por Heisenberg, entre os elétrons, domina
a energia do ponto zero entre os mesmos, domínio esse necessário para produzir
o estado ferromagnético. Contudo, observou Bloch, a própria energia do
ponto zero deve ser levada em consideração para o estado ferromagnético de um
metal. (Hoddeson, Baym and Eckert, op. cit.). No prosseguimento de seu
estudo do ferromagnetismo,
Bloch passou a tratá-lo na região de baixas temperaturas, já que, nelas o modelo
de Weiss e o modelo de Heisenberg falhavam.
Portanto, substituindo a Teoria de Grupos usada por Heisenberg pelos determinantes
de Slater, Bloch descobriu, em 1930 (Leipziger Vorträge: Elektronen-Interferenzen,
p. 67) as famosas ondas de spin (magnons), que são
estados de energia correspondente à precessão dos spins alinhados no estado
fundamental. Ao calcular os autovalores desses estados de energia, Bloch
demonstrou que as flutuações decorrentes das ondas de spin a
baixas temperaturas, em redes uni e bidimensionais, destroem a
possibilidade do ferromagnetismo,
enquanto que em três dimensões, a variação da magnetização ( Os trabalhos de Heisenberg,
Bloch e Slater citados acima foram sumarizados por Pauli, no Congresso Solvay, ocorrido em outubro de 1930. Dentre as
dificuldades encontradas nesses trabalhos, Pauli
apontou a solução do modelo de Heisenberg como sendo uma
delas. Chegou inclusive a afirmar que uma
extensão do modelo de Ising em uma rede tridimensional, poderia explicar
o ferromagnetismo. Uma tentativa
de resolver esse modelo, por intermédio do cálculo das autofunções do estado ferromagnético,
foi empreendida pelo físico germano-norte-americano Hans Albrecht Bethe (1906-2005;
PNF, 1967). Assim, em 1931 (Zeitschrift für Physik 71, p. 205), analisou o caso de uma
cadeia unidimensional de spins com interação de troca J, positiva, como no caso
do ferromagnetismo de
Heisenberg, ou negativa no caso “normal”, relevante para o processo de
coesão de elétrons. Nesse trabalho, Bethe calculou a função de onda de estados
com um número arbitrário de spins opostos. Esse cálculo (embora incompleto em
muitos aspectos, pois não considerava, por exemplo, o caso de J < 0,
referido acima), é notável já que ele é considerado a primeira solução exata de
um sistema quântico de muitos-corpos em interação. A solução correspondente a J < 0 foi
encontrada pelo físico francês Louis Eugène Félix
Néel (1904-2000; PNF, 1970), em 1932 (Annales de Physique 17,
p. 64), ao formular um modelo de uma estrutura magnética para a qual os spins
nas redes são arranjados, de um modo paralelo e antiparalelo, alternadamente,
de maneira que o campo magnético resultante é nulo. Néel demonstrou ainda que
esse estado – denominado por ele de antiferromagnetismo
– desaparece acima de uma determinada temperatura, conhecida desde então como temperatura
de Néel: TN = Apesar dessas descobertas de Néel, o problema do
entendimento do ferromagnetismo
continuava ainda como uma questão a ser resolvida. Com efeito, ainda em 1932 (Zeitschrift für Physik 74,
p. 295), Bloch estudou a dinâmica do modelo de Heisenberg
usando o formalismo da segunda quantização apresentado por Dirac, em 1927 (vide
verbete nesta série). Ainda nesse artigo, Bloch estudou a largura de fronteiras
que separam os domínios elementares em materiais magnéticos, as hoje famosas paredes
de Bloch. Também em 1932 (Physical Review 41,
p. 507), Bitter apresentou um novo método para
investigar o comportamento de domínios magnéticos na superfície de
substâncias ferromagnéticas. A estrutura desses domínios foi explicada,
em 1935 (Physikalisch Zeitschrift der Sowjetunion 8, p. 153), pelos físicos russos Landau e Evgenil Mikhailovich Lifshitz (1915-1985). Segundo esses físicos, a estrutura de
um domínio
é uma consequência natural de varias contribuições à
energia (de troca, anisotropia e magnética) de um corpo ferromagnético. Na conclusão deste verbete,
vejamos como foram feitas tentativas de estender o modelo de Ising
para duas e três dimensões no sentido de aplicá-lo ao estudo do ferromagnetismo.
Com efeito, em 1936 (Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 32,
p. 477), Peierls apresentou um argumento
fenomenológico no qual sustentava que essa extensão deveria exibir magnetização
em baixas temperaturas. O modelo bidimensional de Ising
foi apresentado em 1941 (Phisical Review 60, p. 252; 263), pelos físicos, o
holandês Hendrik Anthony Kramers
(1894-1952) e o suíço Gregory Hugh Wannier (1911-1983)
que partiram da ideia de que a função partição (Z)
desse modelo poderia ser escrita como o maior valor de uma determinada matriz
e, com isso, conseguiram relacioná-la com baixas e altas temperaturas. Nesse
trabalho, eles conseguiram calcular exatamente a temperatura Curie (TC)
de uma rede quadrada. Contudo, essa solução analítica não ficou completa por
não conseguirem calcular o maior autovalor da referida matriz. Note que, também
em 1941 (Journal of Chemical Physics 9, p. 706), o
matemático norte-americano Elliot Waters Montroll (1916-1983)
apresentou uma ideia semelhante a essa, que foi por
ele desenvolvida em 1942 (Journal of Chemical Physics
10, p. 61). Uma solução exata do modelo
bidimensional de Ising foi encontrada pelo
químico norueguês-norte-americano Lars Onsager (1903-1976; PNQ, 1968), em 1944
(Physical Review 65, p. 117), para uma rede quadrática
simples, na ausência de um campo magnético externo. Mais tarde, em 1949 (Physical Review 76, p. 1232), B. Kaufman apresentou um
novo estudo sobre o modelo bidimensional de Ising, porém
ainda sem campo magnético externo. No entanto, o problema do modelo
tridimensional de Ising continua ainda um
problema em aberto, apesar de algumas soluções numéricas aproximadas já foram
obtidas por intermédio do Grupo de Renormalização
usada Em 2000 (Proceedings of the Thirty-Second Annual ACM Symposium on Theory
of Computing
ACM p. 87), Sorin Istrail
mostrou que o cálculo computacional da energia livre de um subgráfico
de um
modelo de Ising para uma rede de três ou mais
dimensões é computacionalmente intratável. Será que, com o desenvolvimento da
computação quântica, o modelo de Ising
multidimensional será computacionalmente tratável?.
[en.wikipédia.org/wiki/Ising_model (acesso
em 12/12/2009)]. 
|
) intrínseco e permanente. Por sua vez, o também físico
francês Pierre Ernst Weiss (1865-1940), em 1907, usou o modelo de 
/3, enquanto valores experimentais indicavam números da ordem
de 103. Por outro lado, o físico dinamarquês Niels 
), o mesmo valor que havia sido encontrado por 
) nos metais e que a mesma era independente da temperatura. O
argumento básico utilizado por 
mc2),
para os quais a energia de Fermi (
) é constante. Por sua vez, 
) de moléculas [em particular, trabalhou com a molécula de 
,
significa a média quadrática da distância r do elétron a um
ponto central (hoje, núcleo atômico 
), 
, conectando o estado fundamental 
, com E0 e 
) apresentava uma forte periodicidade, sob a ação do campo
magnético externo, resultado esse que logo seria observado no chamado efeito
de Haas-van 
M) é proporcional à T3/2, isto é: 
-4. Em dimensões mais altas, a transição de fase do modelo
de