TRÊS GRANDES MATEMÁTICOS
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SEARA DA CIÊNCIA TRÊS GRANDES MATEMÁTICOS |
| Euler e as pontes de Konigsberg |
| Para dar um exemplo curioso do trabalho de Euler vamos relatar o caso das Pontes de Konigsberg, problema que ele resolveu em 1735. Esse problema e sua solução praticamente inauguraram uma nova área da matemática chamada Topologia e deram origem ao estudo dos "grafos", que estão muito na moda com os caras que se dedicam às redes em física estatística. |
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Consta que em Konigsberg, Alemanha, um rio que passava pela cidade tinha uma ilha e, logo depois de passar por essa ilha se bifurcava em dois ramos. Nessa região existiam sete pontes, como mostra a figura. O povo queria saber se era possível andar por toda a cidade de tal modo que cada ponte fosse atravessada exatamente uma vez. Pois bem, faça uma cópia desse mapa e tente achar uma trajetória com esse requisito. Depois volte a ler este texto. |
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Conseguiu? Não? Nem Euler! Na verdade, esse problema, da forma como foi colocado, não tem solução. Não existe nenhuma trajetória passando pelas pontes de Konigsberg que satisfaça o esquema exigido. Curiosamente, se o número de pontes fosse apenas seis, como mostrado na figura, haveria uma solução bem simples. |
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Vejamos como Euler atacou o problema. Para começar, ele notou que o desenho fica mais simples trocando as áreas de terra por pontos (os VÉRTICES) e as pontes por arcos. Veja o mapa das pontes de Konigsberg e o esquema simplificado de Euler. O problema agora consiste em percorrer todos os arcos, passando por cada um apenas uma vez, sem levantar o lápis do papel. Agora, veja: cada vértice tem um número ÍMPAR de arcos chegando a ele (3 ou 5). Considere, por exemplo, um vértice com três arcos, como o superior. A primeira vez que você chegar a esse vértice através de um dos arcos, poderá sair dele por outro dos dois restantes. Mas, quando chegar novamente nesse vértice pelo terceiro arco, morreu! Não há como sair dele sem retraçar um arco. Existem duas possibilidades que dão certo, no entanto. 1) Se esse vértice com 3 arcos for o último, alcançado pela primeira vez no final da viagem. Nesse caso, os outros dois arcos servem apenas para atravessar uma ponte e voltar pela outra. 2) Se você começar por esse vértice e depois, em um momento posterior, chegar de volta a ele, sair e não mais voltar. |
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Portanto, um vértice com um número ímpar de arcos tem de ser o primeiro ou o último da trajetória. Isto é, podem haver, no máximo, dois vértices com um número ímpar de arcos ligados a eles. No caso das pontes de Konigsberg, existem quatro vértices com um número ímpar de arcos, logo, esse caso não tem solução. |
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Na teoria de grafos, uma área da topologia provavelmente iniciada com esse problema, um caminho completo com as propriedades descritas acima de não retraçar nenhum arco é chamado de TRAJETÓRIA de EULER Será que existe alguma trajetória de Euler para o gráfico ao lado? Se existir, como ela é? |
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A Lei de Gauss e a distribuição gaussiana.
Gauss e o polígono de 17 lados.
Evariste Galois e sua vida atribulada.
A teoria de grupos e as equações polinomiais.
